✎ Déterminer des extrema

Propriété  

Soit  `f`  une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\)  de \(\mathbb R\) ouvert et  `a`  un réel appartenant à  `I` ( `a` n'est donc pas une borne de  `I` ).
Si  `f`  admet un extremum en  `a` , alors  \(f^{\prime}(a)=0\) .

Remarques

• L'implication n'est plus vraie si l'intervalle  \(I\) n'est pas ouvert. C'est le cas, par exemple, de la fonction carrée, définie et dérivable sur l'intervalle  \(I=[0;1]\) . Elle est strictement croissante sur  \(I\) et son maximum vaut \(1\) et est atteint en \(x=1\) . Pourtant  \(f'(1)=2\) . 
  
• Il existe bien des fonctions non dérivables en un réel \(a\) , mais qui admettent en ce point un extremum. C'est le cas, par exemple, de la fonction valeur absolue qui admet  \(0\)  comme minimum sur  \(\mathbb{R}\)  atteint en \(x=0\)  mais elle n'est pas dérivable en  \(0\) .
  

Démonstration 

Soit  `f`  une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert  `I`  et  `a`  un réel appartenant à  `I` ( \(a\) n'est donc pas une borne de  `I` ).  
Supposons que  \(f\)  admette en  \(a\)  un maximum qui vaut  \(f(a)\) . Alors, pour tout réel  \(x\in I, f(x)\leqslant f(a) \Leftrightarrow f(x)-f(a) \leqslant 0\) et pour tout  \(h\ne0, f(a+h)-f(a)\leq0\) . 
Or  \(f\) est dérivable en  \(a\)  et  \(f^{\prime}(a)=\lim_\limits{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) . 
On distingue deux cas selon le signe de  \(h\)  : 

• si  \(h>0\) , alors  \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\leq0\)  et donc, par passage à la limite,  \(f'(a)\leqslant0\) . 
  
• si  \(h<0\) , alors  \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\geq0\)  et donc, par passage à la limite,  \(f'(a)\geqslant0\) . 
  

Ces deux dernières inégalités permettent de conclure que  \(f'(a)=0\) . 
On raisonne de façon similaire dans le cas où  \(f\) admet un minimum en `a` .

Remarque

La réciproque de cette propriété est fausse. Par exemple, la fonction cube, définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x)=x^3\) , admet comme dérivée  \(f'(x)=3x^2\) . Cette dérivée s'annule en  \(0\) . Pourtant,  \(f\)  n'admet pas d'extremum en  \(0\)  (elle est strictement croissante sur   \(\mathbb{R}\) ).